تکانه چیست

در مکانیک نیوتنی ، تکانه (به طور خاص تکانه خطی یا تکانه انتقالی ) حاصل ضرب جرم و سرعت یک جسم است. این یک کمیت برداری است که دارای قدر و جهت است. اگر $m$ جرم یک جسم و $v$ سرعت آن (همچنین یک کمیت برداری) باشد، تکانه جسم $p$ (از لاتین pellere “فشار، رانده”) برابر است با: $mathbf {p} = m \mathbf{v}.$

در سیستم بین المللی واحدها (SI)، واحد اندازه گیری تکانه کیلوگرم متر بر ثانیه (kg⋅m/s) است که معادل نیوتن-ثانیه است .

قانون دوم حرکت نیوتن بیان می کند که سرعت تغییر تکانه جسم برابر با نیروی خالص وارد بر آن است. تکانه به چارچوب مرجع است حفظ شده بستگی دارد، اما در هر قاب اینرسی یک کمیت ، به این معنی که اگر یک سیستم بسته تحت تأثیر نیروهای خارجی قرار نگیرد، تکانه خطی کل آن تغییر نمی کند. تکانه همچنین در نسبیت خاص (با فرمول اصلاح شده) و به شکل اصلاح شده در الکترودینامیک ، مکانیک کوانتومی ، نظریه میدان کوانتومی و نسبیت عام حفظ می شود . این بیان یکی از تقارن های اساسی مکان و زمان است: تقارن انتقالی .

فرمول‌بندی‌های پیشرفته مکانیک کلاسیک، مکانیک لاگرانژی و همیلتونی ، به فرد اجازه می‌دهد تا سیستم‌های مختصاتی را انتخاب کند که دارای تقارن و محدودیت باشد. در این سیستم ها کمیت حفظ شده تکانه تعمیم یافته است و به طور کلی این مقدار با تکانه جنبشی تعریف شده در بالا متفاوت است. مفهوم تکانه تعمیم یافته به مکانیک کوانتومی منتقل می شود، جایی که به یک عملگر روی یک تابع موج تبدیل می شود . عملگرهای حرکت و موقعیت با اصل عدم قطعیت هایزنبرگ مرتبط هستند .

در سیستم‌های پیوسته مانند میدان‌های الکترومغناطیسی ، دینامیک سیالات و اجسام تغییر شکل‌پذیر ، چگالی تکانه را می‌توان تعریف کرد و یک نسخه پیوسته از بقای تکانه به معادلاتی مانند معادلات ناویر-استوکس برای سیالات یا معادله تکانه کوشی برای جامدات تغییر شکل‌پذیر منجر می‌شود. یا مایعات

نیوتنی

است تکانه یک کمیت برداری : هم قدر و هم جهت دارد. از آنجایی که تکانه یک جهت دارد، می توان از آن برای پیش بینی جهت و سرعت حرکت حاصل از اجسام پس از برخورد استفاده کرد. در زیر، خواص اساسی تکانه در یک بعد توضیح داده شده است. معادلات برداری تقریباً با معادلات اسکالر یکسان هستند (به ابعاد چندگانه مراجعه کنید ).

تک ذره

تکانه یک ذره به طور معمول با حرف $p$ نشان داده می شود . حاصل ضرب دو کمیت است، جرم ذره (که با حرف $m$ نشان داده می شود ) و سرعت آن ( $v$ ): ^[1]

p=mv.

واحد تکانه حاصل ضرب واحدهای جرم و سرعت است. در واحدهای SI ، اگر جرم بر حسب کیلوگرم و سرعت بر حسب متر بر ثانیه باشد، تکانه بر حسب کیلوگرم متر بر ثانیه (kg⋅m/s) است. در واحدهای cgs ، اگر جرم بر حسب گرم و سرعت بر حسب سانتی متر بر ثانیه باشد، تکانه بر حسب گرم سانتی متر بر ثانیه (g⋅cm/s) است.

به عنوان یک بردار، تکانه دارای قدر و جهت است. به عنوان مثال، یک هواپیمای مدل 1 کیلوگرمی که به سمت شمال با سرعت 1 متر بر ثانیه در پرواز مستقیم و هموار حرکت می کند، دارای حرکت حرکتی 1 کیلوگرم بر متر بر ثانیه در جهت شمال است که با توجه به زمین اندازه گیری می شود.

بسیاری از ذرات

تکانه سیستمی از ذرات حاصل جمع برداری لحظه ای آنهاست. اگر دو ذره دارای جرم های $m 1$ و $m 2$ و سرعت $v 1$ و $v 2$ باشند ، تکانه کل برابر است با

{\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned} }

گشتاور بیش از دو ذره را می توان به طور کلی با موارد زیر اضافه کرد:

p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.

یک سیستم از ذرات دارای یک مرکز جرم است ، نقطه ای که با مجموع وزنی موقعیت های آنها تعیین می شود:

r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{ 2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{ i}m_{i}}}.

اگر یک یا چند ذره در حال حرکت باشد، مرکز جرم سیستم نیز به طور کلی در حال حرکت خواهد بود (مگر اینکه سیستم در چرخش خالص به دور آن باشد). اگر مجموع جرم ذرات باشد $m$ و مرکز جرم با سرعت $v سانتی متر$ حرکت می کند ، تکانه سیستم برابر است با:

p=mv_{\text{cm}}.

این به عنوان اولین قانون اویلر شناخته می شود .

رابطه با زور

اگر نیروی خالص $F$ وارد شده به یک ذره ثابت باشد و برای بازه زمانی $Δ t$ اعمال شود ، تکانه ذره مقداری تغییر می کند.

\Delta p=F\Delta t\,.

در شکل دیفرانسیل، این قانون دوم نیوتن است . سرعت تغییر تکانه یک ذره برابر است با نیروی آنی $F$ وارد بر آن، ^[1]

F={\frac {dp}{dt}}.

اگر نیروی خالص تجربه شده توسط یک ذره به عنوان تابعی از زمان تغییر کند، $F (t)$ ، تغییر در تکانه (یا ضربه $J$ ) بین زمان های $t 1$ و $t 2$ است .

{\displaystyle \Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.} {\displaystyle F={

ایمپالس در واحدهای مشتق شده نیوتن ثانیه (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) یا داین ثانیه (1 dyne⋅s = 1 g⋅cm/s) اندازه گیری می شود.

با فرض جرم ثابت $m$ ، معادل نوشتن است

\frac {d(mv)} {dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma،}

بنابراین نیروی خالص برابر با جرم ذره ضربدر شتاب آن است . ^[1]

مثال : یک هواپیمای مدل با جرم 1 کیلوگرم از حالت سکون به سرعت 6 متر بر ثانیه در جهت شمال در 2 ثانیه شتاب می گیرد. نیروی خالص مورد نیاز برای ایجاد این شتاب 3 نیوتن در جهت شمال است. تغییر در تکانه 6 kg⋅m/s در جهت شمال است. سرعت تغییر تکانه 3 (kg⋅m/s)/s در جهت شمال است که از نظر عددی معادل 3 نیوتن است.

حفاظت

در یک سیستم بسته (سیستمی که هیچ ماده ای را با محیط اطراف خود مبادله نمی کند و نیروهای خارجی بر آن اثر نمی گذارند) تکانه کل ثابت می ماند. این واقعیت که به عنوان قانون بقای حرکت شناخته می شود ، توسط قوانین حرکت نیوتن بیان می شود . ^[4]^[5] برای مثال، فرض کنید که دو ذره با هم تعامل دارند. همانطور که توسط قانون سوم توضیح داده شد، نیروهای بین آنها از نظر قدر مساوی اما در جهت مخالف هستند. اگر ذرات با شماره 1 و 2 باشند، قانون دوم می گوید که $F 1 = dp 1 / dt$ و $F 2 = dp 2 / dt$ . از این رو،

{\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}}،

با علامت منفی که نشان دهنده مخالفت نیروها است. هم ارز،

{\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.

اگر سرعت ذرات $u 1$ و $u 2$ قبل از برهمکنش $باشد و بعد از آن v 1$ و $v 2$ باشد ،

m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.

این قانون مهم نیست که نیرو بین ذرات چقدر پیچیده باشد. به همین ترتیب، اگر چند ذره وجود داشته باشد، تکانه رد و بدل شده بین هر جفت ذره به صفر اضافه می شود، بنابراین کل تغییر تکانه صفر است. این قانون حفاظت در مورد همه فعل و انفعالات، از جمله برخورد (اعم از الاستیک و غیر کشسان ) و جدایی ناشی از نیروهای انفجاری اعمال می شود. ^[4] همچنین می‌توان آن را به موقعیت‌هایی تعمیم داد که قوانین نیوتن برقرار نیستند، برای مثال در نظریه نسبیت و در الکترودینامیک . ^[6]

وابستگی به چارچوب مرجع

تکانه یک کمیت قابل اندازه گیری است و اندازه گیری به چارچوب مرجع بستگی دارد . به عنوان مثال: اگر یک هواپیما با جرم 1000 کیلوگرم در هوا با سرعت 50 متر بر ثانیه در حال پرواز باشد، می توان تکانه آن را 50000 کیلوگرم بر متر بر ثانیه محاسبه کرد. اگر هواپیما به سمت باد مخالف 5 متر بر ثانیه پرواز کند، سرعت آن نسبت به سطح زمین تنها 45 متر بر ثانیه است و تکانه آن را می توان 45000 کیلوگرم بر متر بر ثانیه محاسبه کرد. هر دو محاسبه به یک اندازه درست است. در هر دو چارچوب مرجع، هرگونه تغییر در حرکت با قوانین مربوطه فیزیک مطابقت دارد.

فرض کنید $x$ موقعیتی در یک چارچوب مرجع اینرسی است. از دیدگاه یک چارچوب مرجع دیگر، حرکت با سرعت ثابت $u$ نسبت به دیگری، موقعیت (که توسط یک مختصات اولیه نشان داده می شود) با زمان تغییر می کند.

x'=x-ut\,.

این تبدیل گالیله نامیده می شود .

اگر ذره ای با سرعت حرکت کند $dx / dt = v$ در اولین فریم مرجع، در دوم، با سرعت حرکت می کند

v'={\frac {dx'}{dt}}=vu\,.

از آنجایی که $u$ تغییر نمی کند، قاب مرجع دوم نیز یک فریم اینرسی است و شتاب ها یکسان است:

a'={\frac {dv'}{dt}}=a\,.

بنابراین، تکانه در هر دو قاب مرجع حفظ می شود. علاوه بر این، تا زمانی که نیرو شکل یکسانی داشته باشد، در هر دو قاب، قانون دوم نیوتن بدون تغییر است. نیروهایی مانند گرانش نیوتنی که فقط به فاصله اسکالر بین اجسام بستگی دارد، این معیار را برآورده می کند. این استقلال چارچوب مرجع، نسبیت نیوتنی یا عدم تغییر گالیله نامیده می شود . ^[7]

تغییر چارچوب مرجع، اغلب می تواند محاسبات حرکت را ساده کند. به عنوان مثال، در برخورد دو ذره، می توان یک چارچوب مرجع انتخاب کرد که در آن، یک ذره در حالت استراحت شروع می شود. قاب مرجع دیگری که معمولاً مورد استفاده قرار می گیرد، مرکز جرم است – قابی که با مرکز جرم حرکت می کند. در این چارچوب، تکانه کل صفر است.

کاربرد در برخورد

اگر دو ذره، هر کدام از تکانه های شناخته شده، با هم برخورد کنند و با هم ترکیب شوند، می توان از قانون بقای تکانه برای تعیین تکانه جسم به هم پیوسته استفاده کرد. اگر نتیجه برخورد این باشد که دو ذره از هم جدا شوند، قانون برای تعیین تکانه هر ذره کافی نیست. اگر تکانه یک ذره پس از برخورد مشخص باشد، می توان از قانون برای تعیین تکانه ذره دیگر استفاده کرد. ترکیبی یا اگر انرژی جنبشی پس از برخورد مشخص باشد، می توان از قانون برای تعیین تکانه هر ذره پس از برخورد استفاده کرد. ^[8] انرژی جنبشی معمولاً حفظ نمی شود. اگر حفظ شود، برخورد را برخورد الاستیک می نامند . اگر نه، این یک برخورد غیر کشسان است .

برخوردهای الاستیک

برخورد الاستیک جرمهای مساوی

برخورد الاستیک جرم های نابرابر

برخورد الاستیک برخوردی است که در آن هیچ انرژی جنبشی به گرما یا شکل دیگری از انرژی تبدیل نمی شود. برخوردهای کاملاً الاستیک زمانی رخ می دهد که اجسام به یکدیگر برخورد نکنند، مثلاً در پراکندگی اتمی یا هسته ای که دافعه الکتریکی اجسام را از هم دور نگه می دارد. یک مانور تیرکمان بچه گانه از یک ماهواره در اطراف یک سیاره نیز می تواند به عنوان یک برخورد کاملا الاستیک در نظر گرفته شود. برخورد بین دو توپ استخر زیاد، نمونه خوبی از برخورد تقریباً به دلیل صلبیت وجود دارد کاملاً الاستیک است، اما وقتی اجسام در تماس هستند همیشه مقداری اتلاف . ^[9]

یک برخورد کشسان رو به رو بین دو جسم را می توان با سرعت در یک بعد، در امتداد خطی که از بدنه ها می گذرد، نشان داد. اگر سرعت ها $u 1$ و $u 2$ قبل از برخورد $و بعد از برخورد v 1$ و $v 2$ باشد ، معادلات بیان کننده بقای تکانه و انرژی جنبشی عبارتند از:

{\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1} {2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2} }m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{تراز شده}} برخورد الاستیک بزرگ

تغییر چارچوب مرجع می تواند تجزیه و تحلیل یک برخورد را ساده کند. وجود دارد $برای مثال، فرض کنید دو جسم با جرم مساوی m$ به دیگری نزدیک می شود $، یکی ساکن و یکی با سرعت v$ (مانند شکل). مرکز جرم با سرعت حرکت می کند $v / 2$ و هر دو بدن با سرعت به سمت آن حرکت می کنند $v / 2$ . به دلیل تقارن، پس از برخورد، هر دو باید با سرعت یکسان از مرکز جرم دور شوند. با اضافه کردن سرعت مرکز جرم به هر دو، متوجه می شویم که جسمی که در حال حرکت بود اکنون متوقف شده و دیگری با سرعت $v$ در حال دور شدن است . بدن ها سرعت های خود را رد و بدل کرده اند. صرف نظر از سرعت اجسام، سوئیچ به مرکز قاب جرم ما را به همین نتیجه می رساند. بنابراین، سرعت های نهایی با ^{[4] داده می شود.}

{\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.\end{aligned}}

به طور کلی، هنگامی که سرعت های اولیه مشخص است، سرعت های نهایی با ^{[10] به دست می آیند.}

v_{1}=\left({\frac {m_ {1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2 }}}\right)u_{2}\,

v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_ {2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.

اگر جرم یک جسم بسیار بیشتر از دیگری باشد، سرعت آن تحت تأثیر یک برخورد قرار نمی‌گیرد در حالی که جسم دیگر تغییر بزرگی را تجربه می‌کند.

برخوردهای غیر ارتجاعی

یک برخورد کاملا غیر کشسان بین جرم های مساوی

در یک برخورد غیرکشسان، مقداری از انرژی جنبشی اجسام در حال برخورد به اشکال دیگر انرژی (مانند گرما یا صدا ) تبدیل می‌شود. به عنوان مثال می توان به تصادفات ترافیکی ، ^[11] اشاره کرد که در آن اثر از دست دادن انرژی جنبشی در آسیب به وسایل نقلیه دیده می شود. الکترون ها مقداری از انرژی خود را به اتم ها از دست می دهند (مانند آزمایش فرانک-هرتز ). ^[12] و شتاب دهنده های ذرات که در آنها انرژی جنبشی به صورت ذرات جدید به جرم تبدیل می شود.

در یک برخورد کاملا غیر کشسان (مانند برخورد حشره به شیشه جلو)، هر دو بدن پس از آن حرکت یکسانی دارند. یک برخورد غیرکشسان رو به رو بین دو جسم را می توان با سرعت در یک بعد، در امتداد خطی که از اجسام عبور می کند، نشان داد. اگر سرعت ها $u 1$ و $u 2$ قبل از برخورد $با سرعت v$ باشد، در یک برخورد کاملا غیر کشسان، هر دو جسم پس از برخورد حرکت خواهند کرد. معادله ای که بقای حرکت را بیان می کند:

{\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{ تراز شده}}

اگر یک بدن برای شروع بی حرکت باشد (مثلاً $u_{2}=0$ معادله بقای تکانه است

m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,

بنابراین

v={\frac {m_{ 1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.

در یک موقعیت متفاوت، اگر چارچوب مرجع با سرعت نهایی حرکت کند به طوری که $v=0$ ، اجسام در اثر یک برخورد کاملا غیر کشسان به حالت سکون در می آیند و 100٪ انرژی جنبشی به اشکال دیگر انرژی تبدیل می شود. در این مثال، سرعت‌های اولیه اجسام غیرصفر خواهد بود، یا اجسام باید بدون جرم باشند.

یکی از معیارهای عدم کشش برخورد، ضریب بازگشت $CR .$ است که به عنوان نسبت سرعت نسبی جدایی به سرعت نسبی نزدیک تعریف می شود در اعمال این اندازه گیری بر روی توپی که از یک سطح جامد می پرد، می توان آن را به راحتی با استفاده از فرمول زیر اندازه گیری کرد: ^[13]

C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{height bounce}}{\text{drop height}}}}\,.

معادلات تکانه و انرژی برای حرکات اجسامی که با هم شروع می شوند و سپس از هم دور می شوند نیز صدق می کند. به عنوان مثال، یک انفجار نتیجه یک واکنش زنجیره ای است که انرژی پتانسیل ذخیره شده به شکل شیمیایی، مکانیکی یا هسته ای را به انرژی جنبشی، انرژی صوتی و تابش الکترومغناطیسی تبدیل می کند. راکت‌ها همچنین از حفظ تکانه استفاده می‌کنند: پیشرانه به سمت بیرون رانده می‌شود و شتاب بیشتری می‌گیرد و تکانه‌ای برابر و مخالف به موشک داده می‌شود. ^[14]

ابعاد چندگانه

برخورد الاستیک دو بعدی. هیچ حرکتی عمود بر تصویر وجود ندارد، بنابراین فقط دو جزء برای نمایش سرعت و لحظه مورد نیاز است. دو بردار آبی نشان دهنده سرعت های پس از برخورد هستند و به صورت برداری جمع می شوند تا سرعت اولیه (قرمز) به دست آید.

حرکت واقعی هم جهت و هم سرعت دارد و باید با یک بردار نمایش داده شود . در یک سیستم مختصات با $محورهای x ، y ، z$ ، سرعت دارای مولفه‌های $v x$ در $جهت x$ ، $v y$ در $جهت y$ ، $v z$ در $جهت z$ است . بردار با یک نماد پررنگ نشان داده می شود: ^[15]

\mathbf{v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\راست).

به طور مشابه، تکانه یک کمیت برداری است و با یک نماد پررنگ نشان داده می شود:

\mathbf {p} = \left(p_{x},p_{y},p_{z}\راست).

معادلات بخش های قبل به صورت برداری کار می کنند $اگر اسکالرهای p$ و $v$ جایگزین شوند، $با بردارهای p$ و $v$ . هر معادله برداری بیانگر سه معادله اسکالر است. مثلا،

\mathbf {p} =m\mathbf {v}

سه معادله را نشان می دهد: ^[15]

{\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{ z}.\end{تراز شده}}

معادلات انرژی جنبشی از قانون جایگزینی فوق استثنا هستند. معادلات هنوز یک بعدی هستند، اما هر اسکالر نشان دهنده بزرگی بردار است ، برای مثال،

v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.

هر معادله برداری بیانگر سه معادله اسکالر است. اغلب می توان مختصات را طوری انتخاب کرد که فقط به دو جزء نیاز باشد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. هر جزء را می توان به طور جداگانه به دست آورد و نتایج را با هم ترکیب کرد تا یک نتیجه برداری تولید کند. ^[15]

یک ساختار ساده شامل مرکز قاب جرم می تواند برای نشان دادن اینکه اگر یک کره الاستیک ثابت توسط یک کره متحرک برخورد کند، این دو پس از برخورد در زوایای قائم قرار می گیرند (مانند شکل) استفاده می شود. ^[16]

اجسام با جرم متغیر

مفهوم تکانه نقش اساسی در توضیح رفتار اجرام با جرم متغیر مانند موشک پرتاب کننده سوخت یا ستاره گاز برافزایش ایفا می کند . در تجزیه و تحلیل چنین جسمی، جرم جسم را تابعی در نظر می گیریم که با زمان تغییر می کند: $m (t)$ . تکانه جسم در زمان $t$ بنابراین $p (t) = m (t) v (t)$ است . سپس می توان سعی کرد قانون دوم حرکت نیوتن را با گفتن اینکه نیروی خارجی $F$ بر جسم با تکانه $p (t)$ آن مرتبط است با $F = استناد کند. dp / dt$ ، اما این نادرست است، همانطور که عبارت مرتبط با اعمال قانون محصول در $d (mv) / dt$ : ^[17]

F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.

(غلط)

این معادله حرکت اجسام با جرم متغیر را به درستی توصیف نمی کند. معادله صحیح است

F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}}،

که در آن $u$ سرعت جرم پرتاب شده/افزایش شده همانطور که در قاب استراحت جسم دیده می شود است . ^[17] متمایز است $این از v$ ، که همان سرعت خود جسم است که در یک قاب اینرسی دیده می‌شود.

این معادله با ردیابی تکانه جسم و همچنین تکانه جرم پرتاب شده/افزایشی ( dm ) به دست می آید. وقتی جسم و جرم ( dm ) با هم در نظر گرفته شوند، یک سیستم بسته را تشکیل می دهند که در آن تکانه کل حفظ می شود.

{\displaystyle P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(vu)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm} {\displaystyle {\begin{aligned

نسبی گرا

تغییر ناپذیری لورنتس

فیزیک نیوتنی فرض می کند که زمان و مکان مطلق خارج از هر ناظری وجود دارد. این باعث عدم تغییر گالیله می شود . همچنین منجر به پیش بینی می شود که سرعت نور می تواند از یک فریم مرجع به فریم دیگر متفاوت باشد. این بر خلاف مشاهده است. در نظریه نسبیت خاص ، انیشتین این فرض را حفظ می کند که معادلات حرکت به چارچوب مرجع بستگی ندارد، اما فرض می کند که سرعت نور $c$ ثابت است. در نتیجه، موقعیت و زمان در دو چارچوب مرجع با تبدیل لورنتس به جای تبدیل گالیله، مرتبط است . ^[18]

برای مثال، یک قاب مرجع را در نظر بگیرید که نسبت به دیگری با سرعت $v$ در $جهت x$ حرکت می کند . تبدیل گالیله مختصات قاب متحرک را به عنوان می دهد

} t'&=t\\x'&=x-vt\end{تراز شده}}}

در حالی که تبدیل لورنتس می دهد ^[19]

{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^ {2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}

جایی که $γ$ است ضریب لورنتس :

{\displaystyle\gamma={\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}}.}

قانون دوم نیوتن، با جرم ثابت، تحت تبدیل لورنتس ثابت نیست. می توان آن را ثابت کرد با این حال، با تبدیل جرم اینرسی $m$ یک جسم تابعی از سرعت، :

m=\gamma m_{0}\,;

$m 0$ جرم ثابت جسم است . ^[20]

حرکت اصلاح شده،

\mathbf{p} =\گاما m_{0}\mathbf{v}\,,

از قانون دوم نیوتن پیروی می کند:

\mathbf{F}={\frac{d\mathbf{p}}{dt}}\,.

در حوزه مکانیک کلاسیک، تکانه نسبیتی نزدیک به تکانه نیوتنی است: در سرعت کم، $γm 0 v$ تقریبا برابر با $m 0 v$ است ، عبارت نیوتنی برای تکانه.

فرمول چهار برداری

در نظریه نسبیت خاص، کمیت های فیزیکی بر حسب چهار بردار بیان می شوند که شامل زمان به عنوان مختصات چهارم به همراه سه مختصات فضایی می شود. این بردارها به طور کلی با حروف بزرگ نشان داده می شوند، به عنوان مثال $R$ برای موقعیت. بیان چهار تکانه به نحوه بیان مختصات بستگی دارد. زمان ممکن است بر حسب واحدهای معمولی آن داده شود یا در سرعت نور ضرب شود تا تمام اجزای چهار بردار دارای ابعاد طول باشند. اگر از مقیاس دوم استفاده شود، بازه زمانی مناسب ، $τ$ ، تعریف شده توسط ^[21]

c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\,،

است تحت تبدیل های لورنتس ثابت (در این عبارت و در موارد زیر از (+ − −−) امضای متریک استفاده شده است، نویسندگان مختلف از قراردادهای متفاوتی استفاده می کنند). از نظر ریاضی این عدم تغییر را می توان به یکی از دو روش تضمین کرد: با در نظر گرفتن چهار بردار به عنوان بردارهای اقلیدسی و ضرب زمان در $\sqrt -1$ . یا با نگه داشتن زمان یک کمیت واقعی و جاسازی بردارها در فضای مینکوفسکی . ^[22] در فضای مینکوفسکی، حاصل ضرب اسکالر دو چهار بردار $U = (U 0, U 1, U 2, U 3)$ و $V = (V 0, V 1, V 2, V 3)$ به صورت تعریف می شود.

\mathbf{U} \cdot \mathbf{V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\, . . .

در تمام سیستم های مختصات، چهار سرعت نسبیتی ( متضاد ) با

\mathbf{U}\equiv{\frac{d\mathbf{R}}{d\tau}}=\گاما{\frac{d\mathbf{R}}{dt}}\,, \mathbf{P

و (متضاد) چهار تکانه است

} =m_{0}\mathbf{U}\,,

که در آن $m 0$ جرم ثابت است. اگر $R = (ct ، x ، y ، z)$ (در فضای مینکوفسکی)، آنگاه

{\displaystyle\mathbf{P}=\گاما m_{0}\left(c,\mathbf{v}\right)=(mc,\mathbf{p} )\,.}

انیشتین با استفاده از معادل جرم-انرژی ، $E = mc 2$ ، می توان آن را به صورت بازنویسی کرد.

\mathbf{P} =\left({\frac{E}{c}},\mathbf{p}\right)\,.

بنابراین، پایستگی چهار تکانه ثابت لورنتس است و به حفظ جرم و انرژی دلالت دارد.

بزرگی تکانه چهار بردار برابر $m 0 c$ است :

{\displaystyle\|\mathbf{P}\|^{2}=\mathbf{P}\cdot\mathbf{P}=\gamma^{2}m_{0}^{2}\left(c^{ 2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,}

و در تمام فریم های مرجع ثابت است.

رابطه نسبیتی انرژی – تکانه حتی برای ذرات بدون جرم مانند فوتون ها نیز وجود دارد. با تنظیم $m 0 = 0$ نتیجه می شود که

E=pc\,.

در یک بازی نسبیتی “بیلیارد”، اگر یک ذره ساکن توسط یک ذره متحرک در یک برخورد کشسان مورد اصابت قرار گیرد، مسیرهایی که پس از آن توسط این دو ایجاد می شود، یک زاویه حاد تشکیل می دهند. این برخلاف حالت غیر نسبیتی است که در آن آنها در زوایای قائم حرکت می کنند. ^[23]

چهار تکانه یک موج مسطح را می توان به یک موج چهار بردار مربوط کرد ^[24]

{\displaystyle\mathbf{P}=\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf{p}}}\right)=\hbar \mathbf{K}=\hbar\left ({\frac{\omega}{c}},{\vec{\mathbf{k}}}\right)}

برای یک ذره، رابطه بین اجزای زمانی، $E = ħ ω$ است ، رابطه پلانک-انیشتین ، و رابطه بین اجزای مکانی، $p = ħ k$ ، ماده دو بروگل موج را توصیف می کند .

تعمیم یافته است

اعمال قوانین نیوتن برای بسیاری از انواع حرکت می تواند دشوار باشد زیرا حرکت توسط محدودیت ها محدود می شود . برای مثال، مهره‌ای روی چرتکه محدود می‌شود تا در امتداد سیم آن حرکت کند و باب آونگی محدود می‌شود تا در فاصله ثابتی از محور حرکت کند. عادی بسیاری از این محدودیت‌ها را می‌توان با تغییر مختصات دکارتی به مجموعه‌ای از مختصات تعمیم‌یافته که ممکن است تعدادشان کمتر باشد، گنجانده شود. ^[25] روش های ریاضی تصفیه شده برای حل مسائل مکانیک در مختصات تعمیم یافته توسعه داده شده است. آنها یک تکانه تعمیم یافته را معرفی می کنند که به عنوان تکانه متعارف یا مزدوج نیز شناخته می شود که مفاهیم تکانه خطی و تکانه زاویه ای را گسترش می دهد . برای تمایز آن از تکانه تعمیم یافته، حاصل ضرب جرم و سرعت به عنوان تکانه مکانیکی ، جنبشی یا حرکتی نیز نامیده می شود . ^[6]^[26]^[27] دو روش اصلی در زیر توضیح داده شده است.

مکانیک لاگرانژی

در مکانیک لاگرانژی ، لاگرانژی به عنوان تفاوت بین انرژی جنبشی $T$ و انرژی پتانسیل $V$ تعریف می شود :

{\mathcal {L}}=TV\,.

اگر مختصات تعمیم یافته به صورت یک بردار $q = (q 1, q 2, \dots , q N)$ و تمایز زمانی با یک نقطه بر روی متغیر نشان داده شود، معادلات حرکت (معروف به لاگرانژ یا اویلر-) معادلات لاگرانژ ) مجموعه ای از $N$ معادلات هستند: ^[28]

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.

اگر یک مختصات $q i$ یک مختصات دکارتی نباشد، مولفه تکانه تعمیم یافته مرتبط $p i$ لزوماً ابعاد تکانه خطی را ندارد. حتی اگر $q i$ یک مختصات دکارتی باشد، $اگر پتانسیل به سرعت بستگی داشته باشد، p i$ با تکانه مکانیکی یکسان نخواهد بود. ^[6] برخی منابع حرکت حرکتی را با نماد $Π$ نشان می دهند . ^[29]

در این چارچوب ریاضی، یک تکانه تعمیم یافته با مختصات تعمیم یافته همراه است. اجزای آن به این صورت تعریف شده است

p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.

هر جزء $p j$ به عنوان تکانه مزدوج برای مختصات $q j$ گفته می شود .

حال اگر یک مختصات $q i$ در لاگرانژ ظاهر نشود (اگرچه مشتق زمانی آن ممکن است ظاهر شود)

p_{j}={\text{constant}}\,.

این تعمیم بقای حرکت است. ^[6]

حتی اگر مختصات تعمیم یافته فقط مختصات فضایی معمولی باشند، لحظه‌های مزدوج لزوما مختصات تکانه معمولی نیستند. یک مثال در بخش الکترومغناطیس یافت می شود.

مکانیک هامیلتونی

در مکانیک همیلتونی ، لاگرانژ (تابعی از مختصات تعمیم یافته و مشتقات آنها) با هامیلتونی که تابعی از مختصات تعمیم یافته و تکانه است جایگزین می شود. همیلتونی به این صورت تعریف می شود

{\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal { L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,, {\begin{aligned}{\

که در آن تکانه با تفکیک لاگرانژی مانند بالا به دست می آید. معادلات حرکت همیلتونی ^{[30] است.}

dot {q}}_{i}&= {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H }}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {d{\mathcal {H}}} {dt}}\,.\end{aligned}}

همانطور که در مکانیک لاگرانژی، اگر یک مختصات تعمیم یافته در هامیلتونی ظاهر نشود، جزء حرکت مزدوج آن حفظ می شود. ^[31]

تقارن و حفظ

پایستگی تکانه نتیجه ریاضی همگنی ( تقارن جابجایی ) فضا است (موقعیت در فضا کمیت مزدوج متعارف به تکانه است). یعنی بقای تکانه نتیجه این واقعیت است که قوانین فیزیک به موقعیت بستگی ندارند. این یک مورد خاص از قضیه نوتر است . ^[32] برای سیستم هایی که این تقارن را ندارند، ممکن است بقای تکانه تعریف نشود. مثال‌هایی که پایستگی تکانه اعمال نمی‌شود شامل فضازمان‌های منحنی در نسبیت عام ^[33] یا کریستال‌های زمان در فیزیک ماده متراکم است . ^[34]^[35]^[36]^[37]

الکترومغناطیسی

ذره در یک میدان

در معادلات ماکسول ، نیروهای بین ذرات توسط میدان های الکتریکی و مغناطیسی واسطه می شوند. نیروی الکترومغناطیسی ( نیروی لورنتس ) بر ذره ای با بار $q$ ناشی از ترکیب میدان الکتریکی $E$ و میدان مغناطیسی $B$ است .

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}).

(در واحدهای SI ). ^[38]^{: 2} دارای پتانسیل الکتریکی $φ (r, t)$ و پتانسیل بردار مغناطیسی $A (r, t)$ می باشد . ^[29] در رژیم غیر نسبیتی، حرکت تعمیم یافته آن است

{\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,} {\displaystyle \mathbf {P} =\gamma

در حالی که در مکانیک نسبیتی این می شود

$m\mathbf {\mathbf {v} } + q\mathbf {A} .}$

کمیت $V=q\mathbf {A}$ نامیده می شود گاهی اوقات تکانه بالقوه . ^[39]^[40]^[41] این تکانه ناشی از برهمکنش ذره با میدان های الکترومغناطیسی است. نام مشابهی با انرژی پتانسیل است $U=q\varphi$ که انرژی ناشی از برهمکنش ذره با میدان های الکترومغناطیسی است. این مقادیر یک چهار بردار را تشکیل می دهند، بنابراین قیاس سازگار است. علاوه بر این، مفهوم تکانه پتانسیل در توضیح به اصطلاح تکانه پنهان میدان های الکترومغناطیسی مهم است ^[42]

حفاظت

در مکانیک نیوتنی، قانون بقای تکانه را می توان از قانون کنش و واکنش استخراج کرد که بیان می کند هر نیرو دارای نیروی متقابلی برابر و مخالف است. تحت برخی شرایط، ذرات باردار متحرک می توانند در جهت های غیر مخالف بر یکدیگر نیرو وارد کنند. ^[43] با این وجود، تکانه ترکیبی ذرات و میدان الکترومغناطیسی حفظ می‌شود.

وکیوم

نیروی لورنتس یک تکانه به ذره می دهد، بنابراین طبق قانون دوم نیوتن، ذره باید تکانه ای به میدان های الکترومغناطیسی بدهد. ^[44]

در خلاء، تکانه در واحد حجم برابر است

\mathbf{g} ={\frac{1}{\mu_{0}c^{2}}}\mathbf{E}\times\mathbf{B}\,، قانون عمل و واکنش نفوذپذیری

که در آن $μ 0$ نفوذپذیری خلاء و $c$ است سرعت نور . چگالی تکانه متناسب با بردار Poynting $S$ است که نرخ جهت انتقال انرژی را در واحد سطح نشان می دهد: ^[44]^[45]

\mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.

اگر قرار است تکانه بر روی حجم $V$ در ناحیه $Q$ حفظ شود، تغییرات در تکانه ماده از طریق نیروی لورنتس باید با تغییر در تکانه میدان الکترومغناطیسی و جریان خروجی تکانه متعادل شود. اگر $P mech$ تکانه تمام ذرات در $Q$ باشد و ذرات به عنوان یک پیوستار در نظر گرفته شوند، قانون دوم نیوتن به دست می دهد.

{\frac {d\mathbf {P} _{\text{mech}}}{dt}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J } \times \mathbf{B}\right)dV\,.

تکانه الکترومغناطیسی است

{\displaystyle\mathbf{P}_{\text{field}}={\frac {1}{\mu_{0}c^{2 } }}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B}\,dV\,,} {\displaystyle {\frac {d

و معادله بقای هر جزء $i$ تکانه است

}{dt}}\left(\mathbf {P } _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j } T_{ij}n_{j}\right)d\Sigma\,.}

عبارت سمت راست یک انتگرال در سطح $Σ$ سطح $σ$ است که نشان دهنده جریان تکانه به داخل و خارج حجم است و $n j$ جزء نرمال سطح $S$ است . کمیت $T ij$ می نامند را تانسور تنش ماکسول که به صورت تعریف شده است

T_{ij}\equiv \epsilon_{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2} }\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1 }{ 2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.

^[44]

رسانه ها

نتایج فوق برای معادلات میکروسکوپی ماکسول، قابل اعمال برای نیروهای الکترومغناطیسی در خلاء (یا در مقیاس بسیار کوچک در محیط) هستند. تعریف چگالی تکانه در رسانه دشوارتر است زیرا تقسیم به الکترومغناطیسی و مکانیکی خودسرانه است. تعریف چگالی تکانه الکترومغناطیسی به اصلاح شده است

\mathbf{g} ={\frac{1}{c^{2}}}\mathbf{E}\times\mathbf{H}={\frac{\mathbf{S}}{c^{2}} }\,,

که در آن میدان H $مربوط$ به میدان B و مغناطش $M$ توسط

\mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf{H} +\mathbf{M}\راست)\,.

تانسور استرس الکترومغناطیسی به خواص محیط بستگی دارد. ^[44]

مکانیک کوانتومی

در مکانیک کوانتومی تعریف می شود ، تکانه به عنوان یک عملگر خود الحاقی در تابع موج . اصل هایزنبرگ عدم قطعیت محدودیت هایی را در مورد اینکه چگونه تکانه و موقعیت یک سیستم منفرد قابل مشاهده را می توان به طور همزمان شناخت، تعریف می کند. در مکانیک کوانتومی، موقعیت و تکانه متغیرهای مزدوج هستند .

برای یک ذره منفرد که در مبنای موقعیت توصیف شده است، عملگر تکانه را می توان به صورت نوشتاری نوشت

\mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,

که در آن $\nabla$ عملگر گرادیان ، $ħ$ ، ثابت پلانک کاهش یافته و $i$ است واحد خیالی . این یک شکل متداول از عملگر تکانه است، اگرچه عملگر تکانه در پایه های دیگر می تواند اشکال دیگری داشته باشد. برای مثال، در فضای تکانه عملگر تکانه به صورت نمایش داده می شود

\mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,

در جایی که عملگر $p$ که بر روی تابع موج $ψ (p)$ عمل می کند، تابع موج ضرب شده در مقدار $p$ را به روشی مشابه با عملگر موقعیتی که بر روی تابع موج $ψ (x)$ عمل می کند ، آن تابع موج ضرب در مقدار را به دست می دهد. مقدار x _

برای اجسام پرجرم و بدون جرم، تکانه نسبیتی با ثابت فاز مرتبط است $\beta$ توسط ^[46]

p=\hbar \beta

تابش الکترومغناطیسی (شامل نور مرئی ، نور فرابنفش و امواج رادیویی ) توسط فوتون ها حمل می شود . حتی اگر فوتون ها (جنبه ذره ای نور) جرمی ندارند، همچنان حرکت حرکتی را حمل می کنند. این منجر به کاربردهایی مانند بادبان خورشیدی می شود . محاسبه تکانه نور در محیط دی الکتریک تا حدودی بحث برانگیز است (به بحث آبراهام و مینکوفسکی مراجعه کنید ). ^[47]^[48]

در اجسام و سیالات قابل تغییر شکل

حفاظت در یک پیوستار

حرکت جسم مادی

در زمینه هایی مانند دینامیک سیالات و مکانیک جامدات ، پیگیری حرکت تک تک اتم ها یا مولکول ها امکان پذیر نیست. در عوض، مواد باید با یک زنجیره در هر نقطه وجود دارد تقریبی شوند که در آن یک ذره یا بسته سیال که میانگین خواص اتم‌ها در یک منطقه کوچک در نزدیکی به آن اختصاص داده شده است. به ویژه، دارای چگالی $ρ$ و سرعت $v$ است که به زمان $t$ و موقعیت $r$ بستگی دارد . تکانه در واحد حجم $ρ v$ است . ^[49]

ستونی از آب را در تعادل هیدرواستاتیکی در نظر بگیرید . تمام نیروهای وارد بر آب در تعادل هستند و آب بی حرکت است. در هر قطره آب، دو نیرو متعادل هستند. اولین مورد گرانش است که مستقیماً بر روی هر اتم و مولکول داخل اثر می کند. نیروی گرانش در واحد حجم $است ρg$ که $g$ است شتاب گرانشی . نیروی دوم مجموع تمام نیروهایی است که آب اطراف بر سطح آن وارد می کند. نیرویی که از پایین می آید از نیرویی که از بالا می آید بیشتر از مقداری است که برای تعادل گرانش لازم است. نیروی نرمال در واحد سطح فشار $p$ است . میانگین نیروی در واحد حجم در داخل قطره، گرادیان فشار است، بنابراین معادله تعادل نیرو ^{[50] است.}

-\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.

اگر نیروها متعادل نباشند، قطره شتاب می گیرد. این شتاب صرفاً مشتق جزئی نیست $\partial v / \partialt$ زیرا سیال در یک حجم معین با زمان تغییر می کند. در عوض، مشتق مادی مورد نیاز است: ^[51]

{\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.

برای هر کمیت فیزیکی، مشتق ماده شامل نرخ تغییر در یک نقطه و تغییرات ناشی از فرارفت به عنوان سیال از نقطه عبور می شود. در واحد حجم، نرخ تغییر تکانه برابر با $ρ است D v / Dt$ . این برابر با نیروی خالص وارد بر قطره است.

نیروهایی که می توانند حرکت یک قطره را تغییر دهند شامل گرادیان فشار و گرانش، مانند بالا است. علاوه بر این، نیروهای سطحی می توانند قطرات را تغییر شکل دهند. در ساده ترین حالت، تنش برشی $τ$ ، که توسط نیرویی موازی با سطح قطره اعمال می شود، متناسب با نرخ تغییر شکل یا نرخ کرنش است . چنین تنش برشی در صورتی رخ می دهد که سیال دارای گرادیان سرعت باشد زیرا سیال در یک طرف سریعتر از طرف دیگر حرکت می کند. اگر سرعت در $جهت x$ با $z$ تغییر کند ، نیروی مماسی در جهت $x$ در واحد سطح نرمال به $جهت z$ برابر است.

{\displaystyle \sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,} \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt

که در آن $μ$ است ویسکوزیته . این همچنین یک شار یا جریان در واحد سطح از تکانه x در سطح است. ^[52]

با احتساب اثر ویسکوزیته، معادلات موازنه حرکت برای جریان تراکم ناپذیر یک سیال نیوتنی است.

} }=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\, معادله تکانه کوشی بزرگ کردن دینامیک سیالات مکانیک جامدات

این معادلات به عنوان معادلات ناویر-استوکس شناخته می شوند . ^[53]

معادلات موازنه حرکت را می توان به مواد عمومی تر، از جمله جامدات گسترش داد. برای هر سطح با جهت نرمال $i$ و نیروی در جهت $j$ وجود دارد $یک جزء تنش σ ij$ . را تشکیل می دهند این 9 جزء تانسور تنش کوشی $σ$ که شامل فشار و برش است. پایستگی موضعی تکانه با معادله تکانه کوشی بیان می شود :

\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\ball symbol {\nabla }}\cdot {\ball symbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,, {\frac {

که در آن $f$ است نیروی بدن . ^[54]

معادله تکانه کوشی به طور گسترده برای تغییر شکل جامدات و مایعات قابل استفاده است. رابطه بین تنش ها و نرخ کرنش به خواص ماده بستگی دارد (به انواع ویسکوزیته مراجعه کنید ).

امواج صوتی

اختلال در یک محیط باعث ایجاد نوسانات یا امواجی می شود که دور از منبع خود منتشر می شوند. در یک سیال، تغییرات کوچک در فشار $p$ را اغلب می توان با معادله موج صوتی توصیف کرد :

\ partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,

که در آن $c$ است سرعت صوت . در یک جامد، معادلات مشابهی را می توان برای انتشار فشار ( امواج P ) و برش ( امواج S ) به دست آورد. ^[55]

شار، یا انتقال در واحد سطح، مولفه تکانه $ρv j$ با سرعت $v i$ برابر با $ρ v j v j$ است . در تقریب خطی که به معادله صوتی فوق منتهی می شود، میانگین زمانی این شار صفر است. با این حال، اثرات غیر خطی می تواند منجر به یک میانگین غیر صفر شود. ^[56] ممکن است شار تکانه اتفاق بیفتد حتی اگر خود موج دارای تکانه متوسط نباشد. ^[57]

تاریخچه مفهوم

این بخش نیاز به توجه یک متخصص در تاریخ علم دارد . مشکل خاص این است: اختلاف بر سر مبتکر بقای حرکت. مراجعه کنید به صفحه بحث برای جزئیات بیشتر . ویکی‌پروژه تاریخچه علم ممکن است بتواند به استخدام یک متخصص کمک کند. ( نوامبر 2019 )

در حدود سال 530 پس از میلاد، جان فیلوپونوس مفهومی از حرکت را در فیزیک ، تفسیری بر ارسطو ، فیزیک توسعه داد . ارسطو ادعا می کرد که هر چیزی که در حال حرکت است باید توسط چیزی به حرکت درآید. به عنوان مثال، توپ پرتاب شده باید با حرکات هوا در حال حرکت باشد. فیلوپونوس به پوچ بودن ادعای ارسطو اشاره کرد که حرکت یک جسم توسط همان هوایی که در برابر عبور آن مقاومت می کند، تحریک می شود. او در عوض پیشنهاد کرد که در پرتاب کردن جسم، انگیزه ای به آن داده می شود. ^[58]

در سال 1020، ابن سینا خود ابن سینا نیز شناخته می شود (که با نام لاتینی ) فیلوپونوس را خواند و نظریه حرکت خود را در کتاب شفا منتشر کرد . او موافقت کرد که پرتاب کننده به یک پرتابه انگیزه می دهد. نیروهای خارجی مانند مقاومت هوا نیاز دارد . اما بر خلاف فیلوپونوس که معتقد بود این یک فضیلت موقتی است که حتی در خلأ هم کاهش می‌یابد، او آن را پایدار می‌دانست که برای از بین بردن آن به ^[59]^[60]^[61]

در قرن سیزدهم و چهاردهم، پیتر اولیوی و ژان بوریدان آثار فیلوپونوس و احتمالاً آثار ابن سینا را خوانده و تصحیح کردند. ^[61] بوریدان که در حدود سال 1350 رئیس دانشگاه پاریس شد، به تناسب انگیزه با وزن ضربدر سرعت اشاره کرد. علاوه بر این، نظریه بوریدان با نظریه قبلی خود متفاوت بود، زیرا او انگیزه را خود اتلافی نمی‌دانست و ادعا می‌کرد که جسمی توسط نیروهای مقاومت هوا و گرانش که ممکن است با انگیزه آن مخالفت کنند دستگیر می‌شود. ^[62]^[63]

در سال 1644، رنه دکارت ، در Principia Philosophiæ ، معتقد بود که کل “کمیت حرکت” ( لاتین : quantitas motus ) در جهان حفظ می شود، ^[64] که در آن کمیت حرکت به عنوان حاصل ضرب اندازه و سرعت درک می شود. این را نباید به عنوان بیانیه قانون تکانه مدرن خواند، زیرا او هیچ مفهومی از جرم نداشت که از وزن و اندازه متمایز باشد، و مهمتر از آن، او معتقد بود که به جای سرعت، سرعت است که حفظ می شود. بنابراین برای دکارت اگر جسم متحرکی از سطحی بپرد و جهتش را تغییر دهد اما سرعتش را تغییر ندهد، تغییری در کمیت حرکتش ایجاد نمی‌شود. ^[65]^[66]^[67] گالیله خود ، در دو علم جدید ، از ایتالیایی کلمه impeto برای توصیف کمیت حرکت دکارت استفاده کرد.

در سال 1686، گوتفرید ویلهلم لایب‌نیتس ، در گفتمان متافیزیک ، استدلالی علیه ساخت دکارت در مورد بقای “کمیت حرکت” با استفاده از مثالی از انداختن بلوک‌هایی با اندازه‌های مختلف در فواصل مختلف ارائه کرد. او اشاره می‌کند که نیرو حفظ می‌شود، اما کمیت حرکت، که حاصل ضرب اندازه و سرعت یک جسم تلقی می‌شود، حفظ نمی‌شود. ^[68]

در دهه 1600، کریستیان هویگنز خیلی زود به این نتیجه رسید که قوانین دکارت برای برخورد الاستیک دو جسم باید اشتباه باشد، و او قوانین صحیح را تدوین کرد. ^[69] یک گام مهم، تشخیص او از گالیله تغییر ناپذیری مشکلات ^{بود. [70]} نظرات او پس از آن سال ها طول کشید تا انتشار یافت. شخصاً به و کریستوفر رن لندن ^{را در سال 1661} ویلیام برونکر او آنها در داد . ^[72] هویگنز در واقع آنها را در یک نسخه خطی De motu corporum ex percussione در دوره 6-1652 کار کرده بود. جنگ در سال 1667 به پایان رسید و هویگنز نتایج خود را در سال 1668 به انجمن سلطنتی کرد اعلام ^.

در سال 1670، جان والیس ، در Mechanica sive De Motu، Tractatus Geometricus ، قانون بقای تکانه را بیان کرد: “وضعیت اولیه بدن، چه در حالت سکون یا حرکت، ادامه خواهد داشت” و “اگر نیرو بیشتر از مقاومت، حرکت نتیجه خواهد داد». ^[74] والیس از تکانه برای کمیت حرکت و vis برای نیرو استفاده کرد.

در سال 1687، اسحاق نیوتن ، در Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ، درست مانند والیس، برای کلماتی که برای حرکت ریاضی استفاده می شود، روشی مشابه نشان داد. تعریف دوم او quantitas motus ، “کمیت حرکت” را به عنوان “برخاسته از سرعت و کمیت ماده به طور پیوسته” تعریف می کند که آن را به عنوان تکانه شناسایی می کند. ^[75] بنابراین وقتی در قانون دوم به mutatio motus ، «تغییر حرکت» اشاره می‌کند، که متناسب با نیرویی است که تحت تأثیر قرار می‌گیرد، به طور کلی به معنای تکانه است نه حرکت. ^[76]

در سال 1721، جان جنینگز منتشر کرد Miscellanea را نیوتن ، جایی که حرکت به معنای ریاضی کنونی آن تأیید شده است، پنج سال قبل از ویرایش نهایی Principia Mathematica . تکانه $M$ یا “کمیت حرکت” برای دانش آموزان به عنوان “مستطیل” تعریف می شد، حاصل ضرب $Q$ و $V$ ، که در آن $Q$ “کمیت ماده” و $V$ “سرعت” است. $s / t$ . ^[77]

در سال 1728، Cyclopedia می گوید:

تکانه به ، انگیزه یا کمیت حرکت هر جسم، فاکتوم [یعنی حاصلضرب] سرعت آن است (یا فضایی که در یک زمان معین حرکت می کند، نگاه کنید حرکت ) در جرم آن ضرب شد.”

نیوتنی

تک ذره

بسیاری از ذرات

رابطه با زور

حفاظت

وابستگی به چارچوب مرجع

کاربرد در برخورد

برخوردهای الاستیک

برخوردهای غیر ارتجاعی

ابعاد چندگانه

اجسام با جرم متغیر

نسبی گرا

تغییر ناپذیری لورنتس

فرمول چهار برداری

تعمیم یافته است

مکانیک لاگرانژی

مکانیک هامیلتونی

تقارن و حفظ

الکترومغناطیسی

ذره در یک میدان

حفاظت

وکیوم

رسانه ها

مکانیک کوانتومی

در اجسام و سیالات قابل تغییر شکل

حفاظت در یک پیوستار

امواج صوتی

تاریخچه مفهوم

ISO 6336؛ استاندارد محاسبه ظرفیت بار چرخدنده‌ها

انواع گیربکس دستی: بررسی کامل ساختار، عملکرد و انواع آن در خودروها

گیربکس مخروطی چیست؟

گیربکس کارخانه سیمان