رشد نمایی

رشد تصاعدی فرآیندی است که در طول زمان کمیت را افزایش می دهد. آنی زمانی اتفاق می‌افتد که سرعت تغییر (یعنی مشتق ) یک کمیت نسبت به زمان متناسب با خود کمیت باشد. کمیتی که به عنوان تابع توصیف می‌شود ، یک تابع نمایی از زمان است، یعنی متغیری که زمان را نشان می‌دهد، توان است (برخلاف سایر انواع رشد، مانند رشد درجه دوم ).

اگر ثابت تناسب منفی باشد، کمیت با گذشت زمان کاهش می‌یابد و به جای آن گفته می‌شود که در حال فروپاشی نمایی است . در مورد یک دامنه تعریف گسسته با فواصل مساوی، به آن رشد هندسی یا فروپاشی هندسی نیز می گویند زیرا مقادیر تابع یک پیشرفت هندسی را تشکیل می دهند .

فرمول رشد نمایی یک متغیر $x$ با نرخ رشد $r$ ، با گذشت زمان $t$ در فواصل گسسته (یعنی در زمان های صحیح 0، 1، 2، 3، …) است.

x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}

که در آن $x 0$ مقدار $x$ در زمان 0 است. رشد یک باکتری کلنی اغلب برای نشان دادن آن استفاده می شود. یک باکتری خود را به دو تقسیم می کند که هر کدام خود را به چهار، سپس هشت، 16، 32 و غیره تقسیم می کند. مقدار افزایش مدام افزایش می یابد زیرا متناسب با تعداد روزافزون باکتری ها است. چنین رشدی در فعالیت‌ها یا پدیده‌های واقعی مانند گسترش عفونت ویروسی، رشد بدهی به دلیل بهره مرکب و انتشار ویدیوهای ویروسی مشاهده می‌شود . در موارد واقعی، رشد نمایی اولیه اغلب برای همیشه دوام نمی‌آورد، در عوض در نهایت به دلیل محدودیت‌های بالای ناشی از عوامل خارجی کاهش می‌یابد و به رشد لجستیک تبدیل می‌شود .

اصطلاحاتی مانند “رشد تصاعدی” گاهی اوقات به اشتباه به عنوان “رشد سریع” تعبیر می شوند. در واقع، چیزی که به صورت تصاعدی رشد می کند، در واقع می تواند در ابتدا به کندی رشد کند.

مثالها

باکتری ها در شرایط بهینه رشد تصاعدی از خود نشان می دهند.

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً به بهبود این مقاله با افزودن نقل قول به منابع معتبر کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( آگوست 2013 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

زیست شناسی

تعداد میکروارگانیسم‌ها در یک کشت به‌طور تصاعدی افزایش می‌یابد تا زمانی که یک ماده غذایی ضروری تمام شود، بنابراین دیگر از آن ماده غذایی برای رشد ارگانیسم‌های بیشتری وجود ندارد. به طور معمول اولین موجود زنده به دو ارگانیسم دختر تقسیم می شود ، که سپس هر کدام به چهار ارگانیسم تقسیم می شوند، آنها به هشت ارگانیسم تبدیل می شوند و غیره. از آنجایی که رشد نمایی نشان دهنده سرعت رشد ثابت است، اغلب فرض می شود که سلول های در حال رشد نمایی در حالت ثابت هستند. با این حال، سلول‌ها می‌توانند به صورت تصاعدی با سرعت ثابت رشد کنند در حالی که متابولیسم و بیان ژن خود را بازسازی می‌کنند. ^[3]
یک ویروس (به عنوان مثال COVID-19 یا آبله ) معمولاً در ابتدا به صورت تصاعدی گسترش می یابد، اگر ایمن سازی مصنوعی در دسترس نباشد. هر فرد مبتلا می تواند چندین فرد جدید را آلوده کند.

فیزیک

شکست بهمن در یک ماده دی الکتریک . آزاد یک الکترون به اندازه کافی توسط یک میدان الکتریکی اعمال شده خارجی شتاب می گیرد که در برخورد با اتم ها یا مولکول های محیط دی الکتریک، الکترون های اضافی را آزاد می کند. این الکترون‌های ثانویه نیز شتاب می‌گیرند و تعداد بیشتری الکترون آزاد ایجاد می‌کنند. رشد تصاعدی حاصل از الکترون ها و یون ها ممکن است به سرعت منجر به تجزیه دی الکتریک کامل ماده شود.
واکنش زنجیره ای هسته ای (مفهوم پشت راکتورهای هسته ای و سلاح های هسته ای ). هر اورانیوم هسته که تحت شکافت قرار می گیرد، چندین نوترون تولید می کند که هر یک می توانند توسط اتم های اورانیوم مجاور جذب شوند و به نوبه خود باعث شکافت آنها شوند. اگر احتمال جذب نوترون از احتمال فرار نوترون بیشتر شود ( تابعی از شکل و جرم اورانیوم)، نرخ تولید نوترون و شکافت اورانیوم القایی در یک واکنش کنترل نشده به طور تصاعدی افزایش می یابد. “با توجه به نرخ نمایی افزایش، در هر نقطه از واکنش زنجیره ای 99٪ از انرژی در 4.6 نسل گذشته آزاد می شود. این یک تقریب منطقی است که 53 نسل اول را به عنوان یک دوره تاخیر در نظر بگیریم که منتهی به انفجار واقعی، که فقط 3-4 نسل طول می کشد.” ^[4]
بازخورد مثبت در محدوده خطی تقویت الکتریکی یا الکتروآکوستیک می‌تواند منجر به رشد تصاعدی سیگنال تقویت‌شده شود، اگرچه اثرات رزونانس ممکن است برخی فرکانس‌های اجزای سیگنال را بر سایر فرکانس‌ها ترجیح دهد.

اقتصاد

رشد اقتصادی بر حسب درصد بیان می شود که به معنای رشد تصاعدی است.

امور مالی

بهره مرکب با نرخ بهره ثابت رشد نمایی سرمایه را فراهم می کند. ^[5] ببینید همچنین قاعده 72 را .
طرح‌های هرمی یا طرح‌های پونزی نیز این نوع رشد را نشان می‌دهند که منجر به سود بالا برای چند سرمایه‌گذار اولیه و ضرر در بین تعداد زیادی از سرمایه‌گذاران می‌شود.

علوم کامپیوتر

قدرت پردازش کامپیوترها همچنین به قانون مور و تکینگی تکنولوژیک مراجعه کنید . (تحت رشد نمایی، هیچ تکینگی وجود ندارد. تکینگی در اینجا یک استعاره است که به معنای انتقال آینده ای غیرقابل تصور است. پیوند این مفهوم فرضی با رشد نمایی به وضوح توسط آینده پژوه ری کورزویل ایجاد شده است . )
در تئوری پیچیدگی محاسباتی ، الگوریتم‌های کامپیوتری با پیچیدگی نمایی به مقدار فزاینده‌ای از منابع (مانند زمان، حافظه کامپیوتر) فقط برای افزایش ثابت اندازه مسئله نیاز دارند. بنابراین برای یک الگوریتم پیچیدگی زمانی $2 x$ ، اگر یک مسئله با اندازه $x = 10$ به 10 ثانیه نیاز دارد تا کامل شود، و یک مسئله با اندازه $x = 11$ به 20 ثانیه نیاز دارد، آنگاه مسئله با اندازه $x = 12$ به 40 ثانیه نیاز دارد. این نوع الگوریتم معمولاً در اندازه‌های مسئله بسیار کوچک، اغلب بین 30 تا 100 مورد، غیرقابل استفاده می‌شود (بیشتر الگوریتم‌های رایانه‌ای باید بتوانند مسائل بسیار بزرگ‌تری، تا ده‌ها هزار یا حتی میلیون‌ها مورد را در زمان‌های معقول حل کنند، چیزی که می‌تواند از نظر فیزیکی با یک الگوریتم نمایی غیرممکن است). همچنین، اثرات قانون مور کمک چندانی به وضعیت نمی کند زیرا دو برابر شدن سرعت پردازنده صرفاً به شما امکان می دهد اندازه مشکل را به میزان ثابت افزایش دهید. به عنوان مثال اگر یک پردازنده کند بتواند مشکلات اندازه $x$ را در زمان $t$ حل کند ، یک پردازنده دو برابر سریعتر فقط می تواند مشکلات اندازه را حل کند. $x + ثابت$ در همان زمان $t$ . بنابراین الگوریتم‌های پیچیده نمایی اغلب غیرعملی هستند و جستجوی الگوریتم‌های کارآمدتر یکی از اهداف اصلی علم کامپیوتر امروز است.

پدیده های اینترنتی

محتویات اینترنتی، مانند میم‌های اینترنتی یا ویدیوها ، می‌توانند به صورت تصاعدی منتشر شوند، که اغلب گفته می‌شود « ویروسی می‌شوند » به عنوان قیاس با گسترش ویروس‌ها. ^[6] با رسانه‌هایی مانند شبکه‌های اجتماعی ، یک نفر می‌تواند محتوای یکسانی را به طور همزمان برای افراد زیادی ارسال کند، سپس آن‌ها آن را به افراد بیشتری پخش کنند و به همین ترتیب باعث انتشار سریع می‌شوند. ^[7] برای مثال، ویدیوی Gangnam Style . کردند در 15 ژوئیه 2012 در یوتیوب آپلود شد و در روز اول به صدها هزار بیننده، در روز بیستم میلیون ها بیننده رسید و در کمتر از دو ماه صدها میلیون بیننده مجموعاً مشاهده ^[6]^[8]

فرمول پایه

رشد نمایی:

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}} {

رشد نمایی:

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}} {\displaystyle x(t)=x_

یک کمیت $x$ به صورت نمایی به زمان $t$ if بستگی دارد

\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }}

که در آن ثابت $a$ مقدار اولیه $x$ است ،

x(0)=a\,,

ثابت $b$ یک ضریب رشد مثبت است و $τ$ است ثابت زمانی -زمان مورد نیاز برای $افزایش x$ یک ضریب $b$ :

{\displaystyle x(t+\tau )=a\cdot b^{\frac {t+\tau }{\tau }}=a\cdot b^{\frac { t}{\tau }}\cdot b^{\frac {\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b\,.} {\displaystyle

اگر $τ > 0$ و $b > 1$ باشد ، $x$ رشد نمایی دارد. اگر $τ < 0$ و $b > 1$ , یا $τ > 0$ و $0 < b < 1$ , آنگاه $x$ دارد واپاشی نمایی .

مثال: اگر گونه‌ای از باکتری‌ها هر ده دقیقه دو برابر شود، با شروع تنها یک باکتری، پس از یک ساعت چند باکتری وجود خواهد داشت؟ سوال به معنی $a = 1$ , $b = 2$ و $τ = 10 دقیقه$ است .

x(t)=a\cdot b^{t /\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{min}})}} {

\displaystyle x(1{\text{hr}})=1\cdot 2^{(60{\ text{min}})/(10{\text{min}})}=1\cdot 2^{6}=64.} شبکه‌های

پس از یک ساعت یا شش فاصله ده دقیقه ای، شصت و چهار باکتری وجود خواهد داشت.

بسیاری از جفت‌ها $(b, τ)$ از یک b عدد غیرمنفی بی‌بعد $و$ مقداری از زمان $τ$ (یک کمیت فیزیکی که می‌توان آن را به عنوان حاصل ضرب تعدادی واحد و یک واحد زمان بیان کرد) نرخ رشد یکسانی را نشان می‌دهند. $τ$ متناسب با $log b$ . برای هر $b$ ثابت که برابر با 1 نباشد (مثلا e یا 2)، نرخ رشد با زمان غیر صفر $τ$ داده می شود . برای هر زمان غیر صفر $τ$ نرخ رشد با عدد مثبت بدون بعد $b$ داده می شود .

بنابراین قانون رشد نمایی را می توان به اشکال مختلف اما از نظر ریاضی معادل با استفاده از پایه متفاوت نوشت . رایج ترین فرم ها به شرح زیر است:

{0} \cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\ {100}}\right)^{t/p},}

که در آن $x 0$ مقدار اولیه $x (0)$ را بیان می کند .

پارامترها (منفی در مورد فروپاشی نمایی):

k ثابت رشد $فرکانس$ است ( تعداد بار در واحد زمان) رشد با ضریب $e$ . در امور مالی به آن بازده لگاریتمی، بازده مرکب پیوسته یا نیروی بهره نیز می گویند .
τ زمان تا کردن الکترونیکی ، زمانی است که طول می‌کشد تا با ضریب e رشد کند .
زمان دو برابر شدن T زمانی است که طول می کشد تا دو برابر شود.
درصد افزایش $r$ (عددی بدون بعد) در دوره $p$ .

مقادیر $k$ ، $τ$ ، و $T$ ، و برای یک $p$ معین نیز $r$ ، یک ارتباط یک به یک دارند که با معادله زیر (که می‌توان با گرفتن لگاریتم طبیعی از بالا به دست می‌آید):

k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100} }\right)}{p}}

که $k = 0$ مربوط به $r = 0$ و $بی نهایت بودن τ$ و $T$ است .

اگر $p$ واحد زمان باشد، ضریب $t / p$ به سادگی تعداد واحدهای زمان است. با استفاده از علامت $t$ برای تعداد (بدون بعد) تعداد واحدهای زمان به جای خود زمان، $t / p$ جایگزین کرد $را می توان با t$ ، اما برای یکنواختی از این کار در اینجا اجتناب شده است. در این حالت، تقسیم بر $p$ در آخرین فرمول نیز یک تقسیم عددی نیست، بلکه یک عدد بدون بعد را به مقدار صحیح شامل واحد تبدیل می‌کند.

یک روش تقریبی محبوب برای محاسبه زمان دو برابر شدن از روی نرخ رشد، قانون 70 است . به این معنا که، $T\simeq 70/r$ .

نمودارهایی که زمان دو برابر شدن و نیمه عمر رشدهای نمایی (خطوط پررنگ) و پوسیدگی (خطوط کم رنگ) و 70/ t و 72/ t تقریب آنها را مقایسه می کنند. در نسخه SVG ، ماوس را روی یک نمودار نگه دارید تا آن و مکمل آن برجسته شود.

فرمول بندی مجدد به عنوان رشد لگ خطی

اگر متغیر $x$ مطابق با رشد نمایی از خود نشان دهد $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ ، سپس log (به هر پایه) $x$ به صورت خطی رشد می کند در طول زمان ، همانطور که با گرفتن لگاریتم از هر دو طرف معادله رشد نمایی قابل مشاهده است:

\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).

مدل شود این اجازه می دهد تا یک متغیر به طور نمایی در حال رشد با یک مدل log-linear . به عنوان مثال، اگر کسی بخواهد به طور تجربی نرخ رشد را از روی داده های بین زمانی بر روی $x$ تخمین بزند ، می توان رگرسیون کرد $به صورت خطی log x را$ روی $t$ .

معادله دیفرانسیل

تابع نمایی $x(t)=x_{0}e^{kt}$ را برآورده می کند معادله دیفرانسیل خطی :

{\frac {dx}{dt}}=kx

می گوید که تغییر در هر لحظه از زمان $x$ در زمان $t$ متناسب با مقدار $x (t)$ است و $x (t)$ دارد . مقدار اولیه را $x(0)=x_{0}$ .

معادله دیفرانسیل با انتگرال مستقیم حل می شود:

{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{تراز شده}}

به طوری که

x(t)=x_{0}e^{kt}.

در معادله دیفرانسیل بالا، اگر $k < 0$ باشد ، آنگاه کمیت دچار فروپاشی نمایی می شود .

برای تغییر غیرخطی این مدل رشد، تابع لجستیک را ببینید .

سایر نرخ های رشد

در درازمدت، رشد نمایی از هر نوعی که باشد، بر رشد خطی از هر نوعی (که اساس فاجعه مالتوس است ) و همچنین هر رشد چند جمله‌ای ، یعنی برای همه $α$ پیشی خواهد گرفت :

\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}} }=0.

یک سلسله مراتب کامل از نرخ های رشد قابل تصور وجود دارد که کندتر از نمایی و سریعتر از خطی (در دراز مدت) هستند. ببینید درجه یک چند جمله ای § محاسبه شده از مقادیر تابع را .

نرخ رشد نیز ممکن است سریعتر از نمایی باشد. در شدیدترین حالت، زمانی که رشد بدون محدودیت در زمان محدود افزایش می یابد، به آن رشد هذلولی می گویند . در بین رشد نمایی و هذلولی، طبقات بیشتری از رفتار رشد قرار دارند، مانند ابرعملیات که از تتراسیون شروع می شوند ، و $A(n,n)$ ، مورب تابع آکرمن .

رشد لجستیک

رشد نمایی J شکل (چپ، آبی) و رشد لجستیکی شکل S (راست، قرمز).

در واقعیت، رشد نمایی اولیه اغلب برای همیشه پایدار نمی ماند. پس از مدتی، توسط عوامل خارجی یا محیطی کند می شود. به عنوان مثال، رشد جمعیت ممکن است به دلیل محدودیت منابع به حد بالایی برسد. ^[9] در سال 1845، ریاضیدان بلژیکی، پیر فرانسوا ورهولست، برای اولین بار یک مدل ریاضی از رشد به نام ” رشد لجستیک ” را پیشنهاد کرد. ^[10]

محدودیت های مدل

مدل‌های رشد نمایی پدیده‌های فیزیکی فقط در مناطق محدود اعمال می‌شوند، زیرا رشد نامحدود از نظر فیزیکی واقعی نیست. اگرچه رشد ممکن است در ابتدا نمایی باشد، پدیده های مدل سازی شده در نهایت وارد منطقه ای می شوند که در آن عوامل بازخورد منفی که قبلا نادیده گرفته شده بودند ، مهم می شوند (که منجر به یک مدل رشد لجستیک می شود) یا سایر مفروضات زیربنایی مدل رشد نمایی، مانند تداوم یا بازخورد آنی، شکسته می شوند. پایین.

سوگیری رشد نمایی

مطالعات نشان می دهد که انسان ها در درک رشد تصاعدی مشکل دارند. سوگیری رشد نمایی تمایل به دست کم گرفتن فرآیندهای رشد مرکب است. این سوگیری می تواند پیامدهای مالی نیز داشته باشد. ^[11]

در زیر چند داستان وجود دارد که بر این تعصب تأکید می کند.

برنج روی صفحه شطرنج

طبق یک افسانه قدیمی، وزیر سیسا بن دهیر به شاه شریم هندی یک صفحه شطرنج دست ساز زیبا هدیه داد . پادشاه پرسید در ازای هدیه‌اش چه می‌خواهد و درباری با درخواست یک دانه برنج در مربع اول، دو دانه در دوم، چهار دانه در سوم و غیره، شاه را غافلگیر کرد. پادشاه به راحتی موافقت کرد و درخواست کرد. برای برنج آوردن در ابتدا همه چیز به خوبی پیش رفت، اما نیاز به $2 n -1$ دانه در $مربع n$ به بیش از یک میلیون دانه در مربع 21، بیش از یک میلیون میلیون ( معروف به تریلیون ) در 41 نیاز داشت و به سادگی برنج کافی در این مربع وجود نداشت. تمام دنیا برای مربع های نهایی. (از Swirski، 2006) ^[12]

نیمه دوم صفحه شطرنج زمانی است که نفوذ به طور فزاینده ای تأثیر اقتصادی قابل توجهی بر استراتژی کلی کسب و کار سازمان دارد.

نیلوفر آبی

به کودکان فرانسوی معمایی پیشنهاد می شود که به نظر می رسد جنبه ای از رشد تصاعدی باشد: “نگاهی ظاهری که با آن یک مقدار به طور تصاعدی در حال رشد به یک حد ثابت نزدیک می شود”. معما یک گیاه نیلوفر آبی را در حال رشد در برکه تصور می کند. اندازه این گیاه هر روز دو برابر می شود و اگر به حال خود رها شود ظرف 30 روز حوضچه را خفه می کند و همه موجودات زنده دیگر را در آب می کشد. روز به روز رشد این گیاه کم است، بنابراین تصمیم گرفته می شود تا زمانی که نیمی از حوضچه را نپوشاند نگران کننده نباشد. آن روز کدام روز خواهد بود؟ روز بیست و نهم، تنها یک روز برای نجات حوض باقی مانده است. ^[13]^[12]